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[Jimjimu Notes]

Computer Organization: Floating Point

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小数点不需要fixed，而是floating

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符号位+指数+尾数

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Underflow（下溢） 是指计算结果的绝对值太小，无限接近于 0，以至于超出了当前浮点数格式所能表示的最小非零值的范围。 underflow可能会导致数字清零

IEEE 754

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IEEE754指数为什么使用Bias Notation

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根据bias encoding，一般bias取值为−(2N−1−1)-(2^{N-1} -1 ) 在这里就是−127-127 ，也就是说指数会存储真实数字加上127，最后计算的时候就要减去127 注意：Exponent为0和11111111时为特殊情况，后面介绍

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Special Numbers

表示0与无穷大

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NaN

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Denorms 非规格化

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由上面的2−126>>2−1492^{-126} >> 2^{-149} 我们发现0到最小数之间有一个很大的gap，而罪魁祸首是我们省略了尾数的先导“1”，因此，在exponent=0且significand≠0significand \not = 0的时候我们取消这个先导1，尾数变为(0.significand)2(0.significand)_2

IEEE 754 强行规定：所有非规格化数的真实指数固定为 1−Bias（此处bias为正数）。对于单精度来说，就是 1−127=−126

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此时非规格化的最小正数为2−23×2−126=2−1492^{-23} \times 2^{-126} = 2^{-149},次小数为2×2−1492 \times 2^{-149},接下去是3×2−1493\times 2^{-149} ,以此类推 到尾数全为1的时候，接下去再往下数指数位+1，就是(1+1×2−23)×2−126,(1+2×2−23)×2−126...(1+1 \times 2^{-23}) \times 2^{-126},(1+2 \times 2^{-23}) \times 2^{-126}... 到尾数全为1的时候，接下去再往下数指数位+1(此时exponent变为0b10 :

(1+1×2−23)×2−125,(1+2×2−23)×2−125...(1+1 \times 2^{-23}) \times 2^{-125},(1+2 \times 2^{-23}) \times 2^{-125}...

我们发现stride从 2−1492^{-149} 变成了 2−1482^{-148} 也就是说，每次exponent加1，stride就会翻倍。

浮点数在数轴上的分布特征：越靠近 0，浮点数分布得越密集（stride 越小）；数字的绝对值越大，浮点数分布得越稀疏（stride 越大）。 这种步长在计算机科学中被称为 ULP (Unit in the Last Place)

总结

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（神奇之处在于这个表格从上到下是除了sign外的31位二进制递增的，所表示的数也在递增）

例1: （1）IEEE754单精度如何表示1？ （2）什么时候IEEE754单精度能表示的相邻的两个数间隔为1？

Rounding and Addition

浮点数并不满足加法结合律

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Precision and Accuracy

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Rounding舍入

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规则：round to even，举例： Value Binary Rounded Action Rounded Value 2 3/32 10.000112 10.002 (<1/2—down) 2 2 3/16 10.001102 10.012 (>1/2—up) 2 ¼ 2 7/8 10.111002 11.002 ( 1/2—up) 3 2 5/8 10.101002 10.102 ( 1/2—down) 2 1/2

FP Addition

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